MAKALAH PELUANG MATEMATIKA

MAKALAH MATEMATIKA

“PELUANG”

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika

Dosen Pengampu : Dra. Nurkhikmatul Ain, M.Pd.

Disusun oleh :

1.      Titis Mayta Sari                                   40212115

2.      Maesaroh Khayati                               40212116

3.      Subur Widadi                                       40212117

4.      Siti Hidayatul M                                   40212118

5.      Dwi Muflihah                                       40212120

6.      Adi Surya Mahandika                         40212121

7.      Lukman                                                40212114

8.      Irma soviana ulfa                                 40212113

9.      Lulu mukhtaroh                                  40210164

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR 3

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

STKIP ISLAM BUMIAYU

2012

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan rahmat-Nya kami diberi kesehatan, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang menjadi tugas mata kuliah Matematika.

Makalah yang berjudul Peluang merupakan aplikasi dari kami. Selain untuk memenuhi tugas mata kuliah tersebut juga untuk memberikan pengetahuan tentang Peluang.

Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat dan memberi gambaran ataupun menjadi referensi  kita dalam mengenal dan mempelajari Peluang.

Dalam makalah ini kami menyadari masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu segala saran dan kritik guna perbaikan dan kesempurnaan sangat kami nantikan.

Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat dan memberi gambaran ataupun menjadi referensi kita dalam mengenal dan mempelajaari tentang peluang.dalam makalah ini kami menyadari masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu segala saran dan kritik guna perbaikan dan kesempurnaan sangat kami nantikan.

Semoga makaalah ini dapaat bermanfaat khususnya bagi penyusun dan para pembaca pada umumnya.

Bumiayu, 01 Oktober

DAFTAR ISI

Kata Pengantar…………………………....………..............................                     i

Daftar Isi………………….........…...............….………..…………......                   ii

BAB I             PENDAHULUAN……................….........….…….…..                   1

a.              Latar Belakang masalah…………………...................…                   1

b.             Tujuan Penulisan…………………………............……..                   1

c.              Ruang Lingkup………………….....................…………                  1

BAB  II           PEMBAHASAN….....…………………........................                  2

a.              Pengertian Peluang …………….........…….....................                  2

b.              Percobaan dan Hasil dari Suatu Percobaan….....….........                  3

c.              Ruang Sampel dan Titik Sampel……………….....….....                   3

d.             Peluang Suatu Kejadian ……………………..........….…                  5        

e.              Teknik Menghitung……………………….........…….....                   10

BAB III          PENUTUP .....................................................................                   12

a.              Kesimpulan ......................................................................                  12

b.             Saran ................................................................................                  12

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG MASALAH

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.

B.     TUJUAN PENULISAN

1.                  Untuk memenuhi tugas matematika yaitu tentang peluang.

2.                  Sebagai media belajar mahasiswa yang memberikan banyak latihan yang dapat menunjang belajar mahasiswa.

3.                  Diharapkan mahasiswa memiliki kemampuan dalam menjelaskan konsep-konsep dalam peluang dan dapat menyelesaikan masalah tentang peluang.

C.    RUANG LINGKUP

Membahas materi tentang peluang yang sesuai dengan materi dalam standar isi.

BAB II

PEMBAHASAN

2        Pengertian Peluang

Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan hasil (outcomes) atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.

Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.

Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.

Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel.

Ruang sampel adalah himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel biasa dinotasikan dengan S.

Contoh 1.1

Suatu percobaan melempar satu mata uang logam . Ruang sampelnya adalah S=(B,D)

Contoh 1.2 

Suatu percobaan mengambil satu buah kartu dari enam buah kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan 6. Ruang sampelnya adalah S=(1,2,3,4,,5,6).

2. PERCOBAAN DAN HASIL DARI SUATU PERCOBAAN

Contoh 2.1

Percobaan melempar satu mata uang logam (Rp500,00-an).

Hasil yang mungkin :

a.                   Tampak sisi belakang (B) , yaitu nilai Rp500,00

b.                  Tampak sisi depan (D) , yaitu gambar burung garuda

Contoh 2.2

Percobaan melempar satu mata dadu.

Hasil yang mungkin : sisi-sisi dadu yang menunjukkan jumlah bulatan 1, 2, 3, 4, 5, atau 6

Contoh 2.3

Dalam menjalani kehidupan sehari-hari, secara sengaja atau tidak manusia juga melakukan percobaan. Misalnya nenek yang menunggu kelahiran cucunya tanpa sadar melakukan suatu percobaan. Nenek tersebut melakukan suatu pengamatan, cucunya akan lahir laki-laki atau perempuan.

3.    RUANG SAMPEL DAN TITIK SAMPEL
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil/kejadian yang mungkin terjadi dan dilambangkan dengan S. Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel.

Contoh 1.1

Suatu percobaan melempar satu mata uang logam . ruang sampelnya adalah S=(B,D)

Contoh 1.2 

Suatu percobaan mengambil satu buah kartu dari enam buah kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan 6. Ruang sampelnya adalah S=(1,2,3,4,,5,6).

Pengetosan Dua Mata Uang

	A	G
A	(A,A)	(A,G)
G	(G,A)	(G,G)

Banyak titik sampel : 2x2 = 4
Pengetosan Dua Dadu

	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Banyak titik sampel = 6x6 = 36
Pengetosan Mata Uang dan Dadu

	1	2	3	4	5	6
A	(A,1)	(A,2)	(A,3)	(A,4)	(A,5)	(A,6)
G	(G,1)	(G,2)	(G,3)	(G,4)	(G,5)	(G,6)

Banyak titik sampel = 2x6 = 12

4.    PELUANG SUATU KEJADIAN

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :                                       
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

Misalnya S mewakili suatu ruang sampel dengan n(s) banyaknya hasil yang mungkin yang mempunyai kesempatan sama untuk muncul dan misal A suatu kejadian pada ruang sampel S yang berisi n(A) hasil. Peluang kejadian A didefinisikan :

Peluang (P) =Banyak kejadian muncul/Banyak kejadian yang mungkin
Contoh: P=400/1200 = 1/3
Komplemen dari nilai di atas  = 1200-400:1200

= 800/1200

 = 2/3

Frekuensi nisbi = Banyak Kejadian Muncul/Banyak percobaan
Frekuensi harapan = Banyak percobaan x Peluang

1)                  Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4. Kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10, 9, 8, 7.

Jadi 10P4 = 10x9x8x7, berapa itu? Hitung sendiri.

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2)                  Kombinasi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya.

Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk

Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan :

Contoh :
Diketahui himpunan . Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? Hitung sendiri.

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

2        Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

6. Peluang Kejadian Majemuk

a. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2        Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

2        TEKNIK MENGHITUNG

Contoh (1) :

Pada lomba lari cepat 100 meter, empat orang lolos keputaran akhir, yaitu Adri (A), firdaus (F), Ilham (I), dan Wahyu (W). Pada pertandingan itu tersedia dua hadiah. Beberapa macam susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan ?

Penyelesaian :

Pada putaran akhir yaitu pertandingan ada 4 kemungkinan pengisian pemenang pertama, yaitu A, F, I, atau W. Setelah salah satu mereka ini mencapai garis akhir, pelari berikutnya adalah salah satu dari tiga pelari yang tidak berhasil menjadi juara pertama. Apa saja susunan pemenang pertama dan kedua yang mungkin, untuk lebih jelasnya dapat disusun dalam diagram pohon.

AF AI AW

F I W

                                                                                      

                                                                                      

                                                                                                

A I W

FA FI FW

A F W

IA IF IW

A F I

WA WF WI

 

Dari diagram pohon tersebut dapat ditemukan hasil : 4 × (4 – 1) = 12 susunan pemenang yang mungkin yaitu {AF, AL, AW, FA, FI, FW, IA, IF, W, WA, WF, WI}. Huruf pertama adalah peserta yang menempati juara pertama dan huruf kedua adalah peserta yang menempati juara kedua.

Contoh-contoh yang diberikan, mengarah pada suatu prinsip yang disebut prinsip dasar menghitung, yaitu berikut ini.

1.             Jika dua percobaan yang dilakukan secara berurutan dengan  hasil yang mungkin dari percobaan pertama dan  hasil yang mungkin dari percobaan kedua maka ada  × kombinasi hasil dari percobaan pertama dan kedua.

2.             Secara sama, jika k percobaan dilakukan berurutan, dengan banyaknya hasil yang mungkin dari tiap-tiap percobaan berturut-turut adalah , , ...,  maka ada (× ) hasil yang mungkin dari percobaan-percobaan yang dilakukan tersebut.

Jadi, jika pada taraf pertama suatu pekerjaan dapat diselesaikan dengan n cara, taraf kedua dengan n cara, dan seterusnya sampai taraf terakhir dapat diselesaikan dengan z cara maka cara keseluruhan pekerjaan dapat diselesaikan dengan (m.n..z) cara. Prinsip dasar menghitung ini sangat menolong dalam menyelesaikan soal-soal peluang.

Contoh (2) :

Ada 5 buah kartu yang diberi nomor 1, 2, 3, 4, dan 5 ditempat dalam kotak. Dari kartu-kartu tersebut akan dibentuk bilangan yang terdiri dari 2 angka. Untuk itu dilakukan dua percobaan, yaitu pertama mengambil Satu buah kartu dari dalam kotak lalu ditempatkan ditempat satuan pada bilangan yang akan dibentuk, dan percobaan kedua mengambil kartu kedua lalu ditempatkan ditempat puluhan. Jelas bahwa kartu pertama yang diambil tidak dikembalikan lagi kedalam kotak sebelum pengambilan kartu kedua, dari percobaan ini, berapa peluang bilangan yang terbentuk adalah bilangan genap ?

Penyelesaian :

Dengan prinsip dasar menghitung, ada 5 cara pengambilan kartu pertama dan 4 cara pengambilan kartu kedua. Jadi banyak bilangan seluruhnya yangg dapat terbentuk : 5 × 4 = 20. Angka ini merupakan banyaknya ruang sampel, jadi n(S) = 20. Sementara itu, ciri-ciri bilangan genap angka satunyahabis dibagi 2.

Angka-angka yang menemui syarat itu adalah 2 dan 4.

Maka, untuk menghasilkan bilangan genap, ada 2 cara pengambilan kartu pertama, dan ada 4 cara pengambilan kartu kedua. Jadi, banyak bilangan genap yang dapat dibentuk

2 × 4 = 8 atau n(Genap) =  ×

BAB III

PENUTUP

a)      Kesimpulan

a.       Di dalam makalah ini kita dapat mempelajari matematika tentang peluang. Pada bab peluang, materinya meliputi kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, ekspansi binominal, ruang sampel, peluang, frekuensi harapan, komplemen dan kejadian majemuk.

b.      Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil/kejadian yang mungkin terjadi dan dilambangkan dengan S. Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel. Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya.

c.       Sifat-sifat peluang, misalnya S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada ruang sampel S.

d.      Jika A = Ø maka P (A) = O

e.       Nilai peluang kejadian A, yaitu P (A) berkisar dari O sampai 1 (O ≤ P (A) ≤ 1).

f.       Jika S ruang sampel maka P (S) = 1.

b)     Saran

Dalam peluang yang memiliki pengertian himpunan kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Pastinya perhitungan matematika dengan menggunakan peluang digunakan manusia dalam kehidupan sehari-hari dimana kita sering dihadapkan pada suatu pertanyaan yang tidak diketahui jawabannya tetapi harus dijawab mungkin atau tidak mungkin. Saran kami peluang itu tidak harus digunakan dalam kegiatan sehari-hari karena perhitungan menggunakan peluang cukup rumit. Dan sebagian besar disekitar kita juga ada yang tidak bisa menghitung. Jadi dalam mengetahui sesuatu hal bukan hanya bisa menggunakan perhitungan peluang saja tetapi bisa juga dengan praktik.