Transformasi Geometri

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Transformasi Geometri Rotasi

Rotasi (putaran) yang ditentukan oleh sebuah titik P dengan besar dan arah putaran tertentu adalah suatu pemetaan yang mengawankan sebarang titik R dengan R΄ yang diperoleh dengan memutar ruas PR menjadi PR΄ dengan besar dan arah yang ditentukan tadi, dan PR΄= PR.

Peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung dengan pusat pada titik tertentu dan sudut putar yag tertentu dengan arah searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan gambar tersebut berubah disebut ROTASI

Misalkan:

Titik P,Q, dan R masing-masing di pindahkan mengikuti garis lengkung pada bayangan P’,Q’,dan R’ dalam arah yang sama, dengan besar sudut rotasi 90º pada suatu titik tertentu M yang menyebabkan kedudukan segitiga berubah. Sudut PMP’= sudut QMQ’= sudut RMR’=90º, dan ukuran-ukura sisi serta sudut segitiganya tetap.

B.     Macam-macam Rotasi

1.                  Rotasi dengan pusat (0,0)

 Berapakah X’ dan Y’?

            X’  = r cos ( α + β )

                  = cos ( α + β )

                  = cos α cos β – sin α sin β

            Y’ = r sin (α + β )

                 = sin (α + β )

                 = sin α cos β + cos α sin β

                 =  cos α sin β + sin α cos β

 sehingga dapat di RUMUSkan

            X   =  cos β    -sin β       cos α

            Y’      sin β      cos β        sin α

Keterangan : 1. jika searah jarum jam sudut putarnya negatif  (-)

2.    jika berlawanan jarum jam sudut putarnya positif (+)

contoh soal :

1.                  Tentukan bayangan titik A (3,2) yang diputar dengan pusat O sejauh 45 º searah jarum jam !

2.                  Diketahui titik B (5,-4) diputar sebesar 270 º berlawanan arah dengan jarum jam, dengan pusat O. Tentukan bayangannya !

3.                  Diketahui parabola Y = X² + 1 diputar dengan pusat O searah jarum jam sebesar 90 º. Tentukan bayangannya !

Jawab :

X         =  Cos -45       - Sin - 45         3

            Y              Sin - 45        Cos - 45        2

                        =                               3

                                                     2

                        =    + 

                               + 

                        =    

                            

Sehingga bayangan titik A adalah (    ,  )

Jawab no. 2 :

X         =          Cos 270          Sin 270            5

Y                     Sin 270              Cos 270          

            =          0          1            5

                               0         

            =         

                       

Sehingga bayangannya adalah ( )

Jawaban no.3 :

X         =      Cos                      x

Y                                      y

            =     0               1          x

                               0          y

X        =    y

Y'             x

y = X'

               x =

Diketahui :            + 1

                              + 1

                            

Jadi bayangannya adalah .

2.       Rotasi dengan Pusat ( a,b )

Berapakah besar X’ dan Y’ ?

JELAS : X’          = a + cos (α + β)

              X’ – a      = cos (α + β)

              X’ – a      = cos α cos β – sin α sin β

                                     

             Y’              =  b  + sin (α + β)

             Y’ – b        =  sin  (α + β)

             Y’ – b        =  sin α cos β + cos α sin β

 

 

  

                              X’ – a        =   cos  β          -sin β               cos α

                              Y’ – a        =   sin  β          cos β               sin α

Sehingga RUMUS-nya :

                             X’ – a   =      cos β             -sin β               x – a

                             Y’ – b           sin β               cos β                y – b

Contoh soal :

1. Diketahui titik P ( 5,6 ) diputar dengan pusat ( 1,-2) sebesar 90 º searah jarum jam. Tentukan bayangannya !
2. Diketahui lingkaran = 4 diputar dengan pusat ( 3,2) sebesar 180 º, berlawanan arah dengan jarum jam. Tentukan bayangannya !

Jawaban no.a :

                                     

                                                

               0               1         

                                  0           

0                              1          4

                                           0          8

              =               8

                            

                              

                                      

Sehingga bayanganya adalah ( 9,

Jawaban no.b :

       =       

                   

                 =            

                        0               1           

                 =   

                     

                                                       

                                                       

                                                              

                                                              

Bila diketahui :             +  = 4

                                    ²  +

                                   

                                   

                                                            Atau

                                   

                                   

                                   

C.     Komposisi Rotasi

Komposisi dua rotasi yang berpusat sama akan ekuivalen dengan rotasi dengan pusat sama sebesar penjumlahan kedua sudut rotasinya.

a.       Komposisi dua rotasi berurutan dengan pusat titik O (0,0)

Bayangan titik A (x,y) oleh rotasi [O ,  dilanjutkan dengan rotasi [O,  adalah A  (x'',y'') dengan rumus:

x''   =                         x

            y''                       y

b.      Komposisi dua rotasi berurutan dengan pusat titik P(a,b)

Bayangan titik A(x,y) oleh rotasi [P,  dilanjutkan dengan rotasi [P,  adalah A  (x'',y'') dengan rumus :

                                          

x''   =                         x        a

            y''                       y           b

  contoh soal :

a.       Diketahui R₁ adalah rotasi dengan pusat (0,0) sebesar 30 ; R₂ rotasi dengan pusat (0,0) 90 , dan R₃ rotasi dengan pusat (0,0) sebesar 150 . Tentukan bayangan titik C(6, ) oleh R_{3 O} R_1.

b.      Tentukan bayangan garis  oleh refleksi terhadap garis  dilanjutkan dengan rotasi dengan pusat P(2,1) sebesar 270 .

     Jawaban:

a.       R₁ dan R₃ merupakan rotasi dengan pusat sama yaitu O(0,0).

R_{3 O} R₁ = R(O, 150

Bayangan titik C(6,  oleh R_{3 O} R₁

x'   =           x          =            6      =  

y               0            y                             4

Jadi bayangannya adalah C'= ( )

b.      Misalkan Titik (x,y) terletak pada garis .

(x,y)       M_x=3        (x',y')     _{R(P,270 )}       (x'',y'')

Bayangan (x,y) oleh refleksi terhadap garis x=3 :

x'      =               = 

y'                                                       

bayangan  oleh rotasi [ P(2,1),270 )]

x''    =         x' _P          +     X_p

y''                 y' _P                           Y_P

                         x''     =   0           1           x'         +      2

   y''                0         y'                1

                 x''     =   y'        =          =   

       y''          3                              

Dari persanmaan matriks diperoleh :

   .  .  . (1)

   . .  .  (2)

             Substansi (1) dan (2) ke  diperoleh :

         

        

        Jadi, bayanganya

Referensi

Astuti A.Y dan Miyanto.2011.Pr Matematika Program Ilmu Pengetahuan Alam. Klaten: Intan Pariwara.